Chapitre 1
Logique propositionnelle
Ce premier chapitre est consacré à la logique, et plus précisément la logique propositionnelle. Dans cette section d'introduction, nous allons tout d'abord tenter de définir ce qu'est « la logique ». Par la suite, tout au long de ce chapitre, nous allons étudier les constructions et les opérations de base de la logique. Non seulement ces outils nous seront utiles pour la suite du cours, mais ils nous donneront aussi un aperçu de ce qu'est une discipline formelle.
La logique, définition
Dans le langage courant, l'adjectif « logique » est souvent utilisé pour signifier « raisonnable », « réfléchi » ou encore « normal ». On parle d'un raisonnement logique, d'une décision logique, d'une action logique. Selon le sens commun, quelque chose de logique est quelque chose qui découle du bon sens. Dans ce chapitre, nous allons essayer de dépasser le sens commun pour découvrir la logique en tant que discipline – une discipline dotée de son langage et de ses règles. Pour cela, nous allons étudier ce que l'on appelle la logique.
Qu'est-ce donc que la logique ?
Si on se réfère à la définition du dictionnaire Le Robert, la logique est l'étude scientifique, surtout formelle, des normes de la vérité
.
La logique est une science — une science qui a trait à la vérité, au raisonnement, à la déduction.
La logique est une science « formelle ». Cela signifie que la logique est une science qui utilise des règles précises, définies de façon rigoureuse, et qui étudie ce qui en découle. Ceci contraste avec les sciences qualifiées de « naturelles », comme la physique, la chimie ou la biologie, qui étudient des phénomènes naturels, observables et mesurables. Dans ce genre de disciplines, on développe des théories, on établit des prédictions que l'on confronte ensuite à la réalité. En logique, on n'observe pas de phénomènes naturels, on ne s'attèle pas à comprendre la réalité du monde naturel. À la place, on cherchera à modéliser le savoir et à codifier le raisonnement.
La logique a de nombreux domaines d'application, entre autres :
- En mathématiques, la logique est utilisée pour énoncer des théorèmes et les démontrer, c'est-à-dire en faire des preuves. La logique forme la base, les fondements, des mathématiques.
- En philosophie, la logique est utilisée pour analyser les arguments et leur validité. La logique trouve d'ailleurs ses origines dans la philosophie.
- Les outils de la logique sont également utilisés dans le cadre de l'étude des langues, de la linguistique.
- La logique peut être utilisée pour analyser et concevoir des lois et des règlements juridiques, ou encore étudier des phénomènes sociaux. La logique a une portée universelle.
There can be no doubt that the knowledge of logic is of considerable practical importance for everyone who desires to think and infer correctly.
— Alfred Tarski, logicien, mathématicien et philosophe polonais
Comme l'a énoncé Alfred Tarski, la logique est une discipline
de considérable importance pratique pour toute personne
qui désire penser et raisonner correctement
(traduction libre).
La logique aide à structurer les affirmations et les raisonnements qui les soutiennent.
La logique permet de de distinguer les raisonnements valides des raisonnements fallacieux (trompeurs)
et ainsi d'éviter les erreurs et les contradictions.
Suivre les lois de la logique amène à des raisonnements corrects et à des conclusions fiables.
La logique est donc une discipline fondamentale pour toutes les sciences
et activités humaines qui nécessitent de la réflexion.
La logique et l'informatique
De façon très intéressante, la logique est aussi intimement liée à l'informatique. Les liens entre la logique et l'informatique sont très nombreux, et nous aurons l'occasion d'en aborder quelques-uns. En premier lieu, nous découvrirons que les ordinateurs sont construits à partir de composants qui effectuent des calculs logiques. La logique sera donc un outil essentiel pour comprendre le fonctionnement des ordinateurs.
La logique, un outil de pensée
En plus de son utilité dans le cadre de l'informatique, la logique est un formidable outil de pensée. Un outil de pensée est un concept, une méthode, une technique qui permet d'aider à penser.
You can't do much carpentry with your bare hands and you can't do much thinking with your bare brain.
— Bo Dahlbom, philosophe et informaticien suédois
Comme l'a énoncé Bo Dahlbom, comme on ne peut pas beaucoup faire de menuiserie à mains nues,
on ne peut pas beaucoup penser à cerveau nu
(traduction libre).
Un cerveau sans outils ne peut pas beaucoup penser.
La logique est en soi un outil de pensée. Un outil qui vous permettra de plus penser, de mieux penser. Dans un certain sens, la logique est même l'outil de pensée par excellence, l'outil sur lequel toutes les disciplines scientifiques s'appuient.
La logique propositionnelle
Dans ce chapitre, nous allons étudier un domaine de la logique bien particulier, appelé la logique propositionnelle. La logique propositionnelle a pour objet d'étude les propositions, de simple énoncés qui peuvent être vrais ou faux et que l'on peut combiner à l'aide de connecteurs. La logique propositionnelle nous permettra d'aborder les concepts de base de la logique.
✓ Objectifs
À la fin de ce chapitre, vous serez capable :
- D'expliquer ce qu'est une proposition.
- De lister divers connecteurs logiques et d'expliquer leur sens.
- De représenter des propositions à l'aide d'arbres syntaxiques.
- D'expliquer le concept d'interprétation.
- De calculer la valeur de vérité d'une proposition.
- De définir les notions de satisfiabilité et de validité d'une proposition.
- De concevoir une table de vérité à partir d'une proposition.
- De déterminer si deux propositions sont équivalentes.
- De concevoir une proposition à partir d'une table de vérité à l'aide d'une table de Karnaugh.