Section 1.3
Interprétations et calcul
Dans cette section, nous allons regarder comment déterminer la valeur de vérité des propositions, c'est-à-dire si elles sont vraies ou fausses. Dans quelles conditions une proposition est-elle vraie ? Dans quelles conditions une proposition est-elle fausse ? Par quel procédé peut-on calculer la valeur de vérité d'une proposition ?
Valeurs de vérité
La valeur de vérité d'une proposition est soit vraie soit fausse. On utilise le symbole 1 pour représenter le vrai et le symbole 0 pour représenter le faux.
Comme nous allons le voir dans la suite de cette section, la valeur de vérité d'une proposition n'est pas forcément fixe. Dans certains contextes, certaines propositions peuvent être vraies (1), alors que dans d'autres contextes elles peuvent être fausses (0).
♣︎ Exemple
La valeur de vérité de la proposition « Nous sommes lundi. » peut être 1 (vrai) ou 0 (faux). Selon l'interprétation que l'on considère, la proposition peut être vraie ou fausse. En effet, si l'on considère le contexte où l'on est un lundi, la proposition est vraie, alors que si l'on considère le contexte où l'on est un mardi, la proposition est fausse.
La valeur de vérité d'une proposition dépend du contexte auquel on l'applique. Par exemple, la proposition « La maison est rouge. » est vraie si l'on parle d'une maison rouge, mais fausse si l'on parle d'une maison bleue. Pour parler des différents contextes auxquels on peut appliquer une proposition, on utilise le concept d'interprétation.
Interprétation
On appelle une interprétation d'une proposition une assignation de valeur de vérité à chaque variable propositionnelle utilisée dans la proposition. Autrement dit, une interprétation liste la valeur de vérité de chaque variable propositionnelle utilisée dans la proposition. Pour chaque variable, l'interprétation permet de savoir si la variable est vraie ou fausse.
On écrit ces assignations de la façon suivante :
On écrit le nom des variables, chacun suivi d'un signe égal puis de la valeur de vérité de la variable,
le tout séparé par des virgules.
Par exemple, on écrit A = 1, B = 0 pour l'assignation de la valeur 1 à la variable A et de la valeur 0 à la variable B.
Considérons par exemple la proposition non B et R.
Les variables propositionnelles sont B et R.
Dans ce cas, B = 1, R = 0 est une interprétation de la proposition.
Cette interprétation assigne la valeur 1 à la variable B et la valeur 0 à la variable R.
Sous cette interprétation, on considère que la variable B est vraie et la variable R est fausse.
Comme vous saurez le déterminer plus tard, sous cette interprétation, la proposition non B et R est fausse.
♣︎ Exemple
Considérons la variable C qui représente la proposition « L'objet est carré. »
et la variable R qui représente la proposition « L'objet est rouge. ».
Admettons que nous étudions une proposition qui fait appel aux variables C et R, tel que par exemple (non C) et R.
Une interprétation est une assignation de valeur de vérité aux deux variables C et R.
Chaque contexte auquel on peut appliquer la proposition peut être représenté par une telle interprétation.
Par exemple, si l'on souhaite déterminer si la proposition (non C) et R est vraie ou fausse dans le contexte où l'objet est un carré rouge,
on utilisera l'interprétation C = 1, R = 1.
Au contraire, pour un rond bleu, l'interprétation serait C = 0, R = 0.
Pour un carré bleu on aurait C = 1, R = 0, alors que pour un rond rouge on aurait C = 0, R = 1.
! Remarque
Le nombre d'interprétations différentes dépend uniquement du nombre de variables différentes dans la proposition.
Pour une unique variable (par exemple A), on compte uniquement deux interprétations différentes (A = 0 et A = 1).
Pour deux variables, il y a quatre interprétations différentes.
Pour trois variables, il y en a huit au total.
En toute généralité, pour \(n\) variables, on comptabilise \(2^n\) interprétations différentes. Le nombre d'interprétations différentes grandit de manière exponentielle avec le nombre de variables.
Calcul de la valeur d'une proposition
Étant donné une proposition et une interprétation, il est possible de déterminer la valeur de vérité de la proposition sous l'interprétation donnée par une sorte de calcul.
Pour ce faire, il suffit de remplacer les occurrences des différentes variables par leur valeur de vérité telle que renseignée par l'interprétation,
de remplacer les constantes par leur valeur de vérité (0 pour faux et 1 pour vrai),
puis d'appliquer les connecteurs en respectant l'ordre d'application.
Pour savoir la valeur retournée par les différents connecteurs en fonction des valeurs de vérité sur lesquelles ils sont appliqués, on peut utiliser les tableaux présentés ci-dessous.
Connecteur non
Le connecteur non retourne 1 lorsqu'il est appliqué à 0,
et 0 lorsqu'il est appliqué à 1.
Connecteur et
Le connecteur et retourne 1 quand les deux valeurs auxquelles il est appliqué sont à 1,
et 0 dans tous les autres cas.
Connecteur ou
Le connecteur ou retourne 0 quand les deux valeurs sur lesquelles le connecteur est appliqué sont à 0,
et 1 dans tous les autres cas.
Connecteur implique
Le connecteur implique retourne 1 quand la première valeur est à 0 ou que les deux valeurs sont à 1,
et 0 dans tous les autres cas.
! Remarque
Il est possible de se souvenir facilement
du fonctionnement des connecteurs et et ou
via un moyen mnémotechnique.
On remarque que dans le cas du connecteur et, c'est le 0 qui prime : si l'une des deux valeurs est 0, alors le résultat est forcément de 0.
Pour se rappeler de cela, on peut se souvenir de l'allocution « Hé oh ! », qui rappelle ET 0.
Avec le connecteur ou, c'est le 1 qui prime : si l'une des deux valeurs est à 1, alors le résultat est 1.
Dans ce cas, on peut penser à « Ouin ! », qui fait penser à OU 1.
Calculer à l'aide d'arbres
Le processus de calcul de la valeur de vérité d'une proposition peut être visualisé très simplement en faisant usage de la représentation graphique des propositions sous forme d'arbres que nous avons abordée précédemment.
Par exemple, considérons la proposition A et ((non B) ou C).
L'arbre correspondant est le suivant :
Pour obtenir la valeur de vérité de la proposition étant donné une certaine interprétation, on cherchera à obtenir la valeur de vérité de la racine de l'arbre (le noeud tout en haut de l'arbre).
Pour obtenir la valeur de vérité d'un noeud de l'arbre, il faut connaître la valeur de vérité de tous les noeuds en dessous du noeud et qui y sont reliés par une branche (les enfants du noeud). Avant de pouvoir calculer la valeur de vérité de la racine, il faut donc calculer la valeur de vérité de tous les enfants de la racine, puis de tous les enfants de ces enfants, et ainsi de suite jusqu'à arriver aux noeuds tout en bas de l'arbre (les feuilles).
★ À essayer
Essayez par vous-même de calculer la valeur de vérité de la racine
de l'arbre ci-dessous étant donné l'interprétation
A = 1, B = 0, C = 0 .
Pour cela, calculer la valeur de vérité de chaque noeud
un à un en cliquant dessus.
Vous pouvez calculer la valeur d'un noeud mis en évidence en cliquant dessus. Vous pouvez aussi utiliser le bouton Tout calculer pour calculer la valeur du reste des noeuds de l'arbre, l'un après l'autre.
Pour calculer la valeur d'une proposition, on commence donc par calculer la valeur des feuilles de l'arbre, puis on remonte progressivement vers la racine.
Pour calculer la valeur d'un noeud qui contient une variable, il suffit de regarder sa valeur de vérité dans l'interprétation. Pour calculer la valeur d'un noeud qui contient une constante, il suffit de retourner la valeur de vérité de la constante. Finalement, pour calculer la valeur d'un noeud qui contient un connecteur, il suffit d'appliquer le connecteur aux valeurs de vérité des enfants du noeud.
★ À essayer
Entrez ci-dessous une proposition et une interprétation pour obtenir l'arbre de la proposition. Vous pourrez ensuite cliquer sur les différents noeuds de l'arbre mis en évidence pour procéder au calcul de la valeur de la proposition.
✎ Auto-évaluation
La valeur de vérité de la proposition A et ((non B) ou C)
étant donné l'interprétation A = 1, B = 1, C = 1
est .
Cette même proposition, étant donné l'interprétation A = 0, B = 1, C = 0,
a pour valeur de vérité .
Il existe
interprétations différentes à
A et ((non B) ou (B et C)).
! À maîtriser
Avant de poursuivre, assurez-vous de pouvoir :
- Expliquer ce qu'est une valeur de vérité.
- Lister les deux valeurs de vérité possibles.
- Définir ce qu'est une interprétation en logique propositionnelle.
- Lister les différentes interprétations d'une proposition quelconque.
- Déterminer la valeur de vérité d'une proposition étant donné une interprétation.