Section 1.1
Propositions
La logique propositionnelle a pour objet d'étude les propositions. De manière informelle, une proposition est simplement un énoncé, une affirmation, qui peut être vrai ou faux.
♣︎ Exemple
La phrase « La Terre est ronde. » est une proposition, tout comme la phrase « La maison est bleue. ». Dans les deux cas, la phrase est une affirmation que l'on peut considérer comme vraie ou fausse. Savoir si ces phrases sont vraies ou fausses dépend du contexte où elles sont énoncées.
Au contraire, les phrases « Est-ce qu'il y a quelqu'un ? », « Creuse ! », ou encore « Boom ! » ne sont pas des propositions. En effet, ces phrases ne sont pas des affirmations.
Dans ce cours, nous allons traiter les propositions de manière formelle, précise et systématique. Nous allons introduire une notation pour représenter les propositions, et nous allons étudier les règles qui permettent de former des propositions plus complexes à partir de propositions simples. Comme nous allons le voir, nous aurons des propositions de base, que l'on appellera propositions basiques, et des connecteurs logiques (comme et et ou) qui permettront de former des propositions plus complexes à partir de propositions propositions plus simples.
Propositions basiques
Les propositions basiques sont les propositions les plus simples et forment les briques de base de la logique propositionnelle. Ces propositions ne peuvent pas être décomposées en propositions plus simples. On dit aussi que ce sont des propositions atomiques (qui ne peuvent pas être coupées). Ces propositions sont souvent des affirmations simples dont la véracité peut être évaluée de manière directe.
Comme propositions basiques, nous aurons deux types de propositions :
- Les variables propositionnelles : ce sont des noms que l'on donne à des propositions simples.
- Les constantes : ce sont des propositions qui sont toujours vraies ou toujours fausses.
Variables
Pour représenter des propositions simples telles que celles que l'on a pu voir, on utilisera ce qu'on appelle des variables propositionnelles ou plus simplement variables.
Une variable est un simple nom que l'on donne à une proposition simple.
Par exemple, on peut nommer la proposition « La maison est bleue. » par la variable B.
Les variables sont souvent représentées par des lettres majuscules.
♣︎ Exemple
La phrase « Il pleut. » est une proposition, à laquelle on pourrait attribuer une variable propositionnelle, par exemple P.
! Remarque
En logique, on apportera généralement peu d'importance à la signification des variables. Au final, ce qui comptera, ce seront les propositions plus complexes que l'on pourra former à partir de ces simples variables. La logique propositionnelle s'attache à étudier les propositions au travers de leur structure, et non via la signification des diverses variables.
Constantes
En plus des variables propositionnelles, on considère deux propositions constantes :
vrai et faux.
Ces propositions sont dites constantes, car leur valeur de vérité n'est pas sujette à interprétation.
La proposition vrai est une affirmation toujours vraie, tandis que la proposition faux est une affirmation toujours fausse.
! Remarque
On note parfois la proposition vrai avec le symbole ⊤ et la proposition faux avec le symbole ⊥.
Certaines présentations de la logique utilisent les symboles 1 et 0 pour représenter les propositions vrai et faux.
Dans ce cours, nous réserverons ces symboles pour représenter les valeurs de vérité,
une notion que nous allons introduire dans la suite de ce chapitre.
✎ Auto-évaluation
La logique propositionnelle a pour objet d'étude . Les propositions sont des auxquelles il est possible d'attribuer .
Les variables propositionnelles ont une valeur de vérité qui dépend de . Au contraire, les constantes ont toujours la même valeur de vérité.
! À maîtriser
Avant de poursuivre, assurez-vous de pouvoir :
- Définir ce qu'est une proposition.
- Expliquer ce qu'est une variable propositionnelle.
- Expliquer ce qu'est une constante dans le cadre de la logique propositionnelle.
- Lister les deux constantes de la logique propositionnelle.